Kevin Naranjo Mendoza
La ecuación de una recta en su forma más común es:
y = mx + b
donde:
La pendiente representa la inclinación de la recta. Se calcula como el cambio en y dividido entre el cambio en x, es decir:
\[m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
Una pendiente positiva indica que la recta sube de izquierda a derecha, mientras que una pendiente negativa indica que la recta baja de izquierda a derecha.
El valor de b indica el punto donde la recta corta al eje y. Este es el valor de y cuando x es igual a 0.
Para encontrar la intersección con el eje x, se iguala y a 0 en la ecuación y se resuelve para x:
\[x = \dfrac{-b}{m}\] (con m ≠ 0)
La ecuación de una parábola con eje vertical tiene la siguiente forma:
(x - h)² = 4p(y - k)
donde:
El vértice es el punto donde la parábola cambia de dirección. En la ecuación (x - h)² = 4p(y - k), las coordenadas del vértice son (h, k).
El valor de p determina la apertura de la parábola y la distancia entre el vértice y el foco. Si p es positivo, la parábola se abre hacia arriba; si es negativo, se abre hacia abajo. Por ejemplo, si p = 12, indica que la distancia del vértice al foco es 12 unidades.
El foco de la parábola es un punto especial que se encuentra a una distancia p del vértice. En la ecuación (x - h)² = 4p(y - k), el foco tiene coordenadas (h, k + p).
El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice de la parábola.
La distancia entre el vértice y el foco es igual a p.
La ecuación estándar de una elipse con centro en el origen es:
\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
donde a es el semieje mayor y b es el semieje menor.
Cuando se realiza una rotación de los ejes coordenados en un ángulo \(\alpha\), las nuevas coordenadas \((x', y')\) se relacionan con las originales \((x, y)\) mediante las siguientes fórmulas de transformación:
x = x'cos(α) - y'sen(α)
y = x'sen(α) + y'cos(α)
Al aplicar estas transformaciones a la ecuación de la elipse original, se obtiene una nueva ecuación para la elipse rotada. Esto se debe a que las coordenadas originales \((x, y)\) se expresan en función de las nuevas coordenadas \((x', y')\) utilizando las fórmulas de rotación.
El ángulo de rotación \(\alpha\) determina cómo se gira la elipse en el plano. Este ángulo se mide desde el eje x positivo hacia el eje y en sentido antihorario. Después de la rotación, la elipse tendrá una nueva orientación, pero sus dimensiones (los semiejes mayor y menor) no cambian.
La nueva ecuación de la elipse rotada se obtiene al sustituir las expresiones de \(x\) y \(y\) en términos de \(x'\) y \(y'\) en la ecuación original de la elipse. El resultado es una ecuación que describe la elipse rotada en el nuevo sistema de coordenadas.
Las sumas de Riemann son una técnica fundamental en cálculo integral para aproximar el área bajo una curva. Se basan en dividir el intervalo en subintervalos y sumar las áreas de rectángulos que aproximan el área bajo la curva.
La suma superior utiliza el valor máximo de la función en cada subintervalo para calcular el área del rectángulo.
Fórmula: \[ S_n = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x \]
Donde \(M_i\) es el valor máximo de \(f(x)\) en el i-ésimo subintervalo y \(\Delta x\) es el ancho de cada subintervalo.
La suma inferior utiliza el valor mínimo de la función en cada subintervalo.
Fórmula: \[ s_n = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x \]
Donde \(m_i\) es el valor mínimo de \(f(x)\) en el i-ésimo subintervalo.
Esta suma utiliza el valor de la función en el punto medio de cada subintervalo.
Fórmula: \[ M_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x \]
Donde \(x_i^*\) es el punto medio del i-ésimo subintervalo.
Para una función creciente en el intervalo [a,b]:
\[ s_n \leq M_n \leq S_n \]
A medida que n aumenta (más subintervalos), estas sumas se aproximan al valor real de la integral definida.