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Descripción

La ecuación de una recta en su forma más común es:

y = mx + b

donde:

• m es la pendiente de la recta.
• b es la intersección con el eje y (es decir, el valor de y cuando x es igual a 0).

Pendiente (m)

La pendiente representa la inclinación de la recta. Se calcula como el cambio en y dividido entre el cambio en x, es decir:

$$m={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Una pendiente positiva indica que la recta sube de izquierda a derecha, mientras que una pendiente negativa indica que la recta baja de izquierda a derecha.

Intersección con el eje y (b)

El valor de b indica el punto donde la recta corta al eje y. Este es el valor de y cuando x es igual a 0.

Intersección con el eje x

Para encontrar la intersección con el eje x, se iguala y a 0 en la ecuación y se resuelve para x:

$$x={\displaystyle \frac{-b}{m}}$$ (con m ≠ 0)

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Descripción

La ecuación de una parábola con eje vertical tiene la siguiente forma:

(x - h)² = 4p(y - k)

donde:

• (h, k) son las coordenadas del vértice de la parábola.
• p es la distancia desde el vértice al foco o a la directriz.

Vértice (h, k)

El vértice es el punto donde la parábola cambia de dirección. En la ecuación (x - h)² = 4p(y - k), las coordenadas del vértice son (h, k).

Parámetro p

El valor de p determina la apertura de la parábola y la distancia entre el vértice y el foco. Si p es positivo, la parábola se abre hacia arriba; si es negativo, se abre hacia abajo. Por ejemplo, si p = 12, indica que la distancia del vértice al foco es 12 unidades.

Foco

El foco de la parábola es un punto especial que se encuentra a una distancia p del vértice. En la ecuación (x - h)² = 4p(y - k), el foco tiene coordenadas (h, k + p).

Eje de simetría

El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice de la parábola.

Distancia entre el vértice y el foco

La distancia entre el vértice y el foco es igual a p.

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Descripción

La ecuación estándar de una elipse con centro en el origen es:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

donde a es el semieje mayor y b es el semieje menor.

Rotación de los ejes coordenados

Cuando se realiza una rotación de los ejes coordenados en un ángulo $\alpha$, las nuevas coordenadas $(x^{\prime },y^{\prime })$ se relacionan con las originales $(x,y)$ mediante las siguientes fórmulas de transformación:

x = x'cos(α) - y'sen(α)

y = x'sen(α) + y'cos(α)

Rotación de la ecuación de la elipse

Al aplicar estas transformaciones a la ecuación de la elipse original, se obtiene una nueva ecuación para la elipse rotada. Esto se debe a que las coordenadas originales $(x,y)$ se expresan en función de las nuevas coordenadas $(x^{\prime },y^{\prime })$ utilizando las fórmulas de rotación.

Ángulo de rotación

El ángulo de rotación $\alpha$ determina cómo se gira la elipse en el plano. Este ángulo se mide desde el eje x positivo hacia el eje y en sentido antihorario. Después de la rotación, la elipse tendrá una nueva orientación, pero sus dimensiones (los semiejes mayor y menor) no cambian.

Nueva ecuación después de la rotación

La nueva ecuación de la elipse rotada se obtiene al sustituir las expresiones de $x$ y $y$ en términos de $x^{\prime }$ y $y^{\prime }$ en la ecuación original de la elipse. El resultado es una ecuación que describe la elipse rotada en el nuevo sistema de coordenadas.

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Descripción

Las sumas de Riemann son una técnica fundamental en cálculo integral para aproximar el área bajo una curva. Se basan en dividir el intervalo en subintervalos y sumar las áreas de rectángulos que aproximan el área bajo la curva.

Suma Superior de Riemann

La suma superior utiliza el valor máximo de la función en cada subintervalo para calcular el área del rectángulo.

Fórmula: $$S_n=\sum _{i=1}^n{M}_i\mathrm{\Delta }x$$

Donde $M_i$ es el valor máximo de $f(x)$ en el i-ésimo subintervalo y $\mathrm{\Delta }x$ es el ancho de cada subintervalo.

Suma Inferior de Riemann

La suma inferior utiliza el valor mínimo de la función en cada subintervalo.

Fórmula: $$s_n=\sum _{i=1}^n{m}_i\mathrm{\Delta }x$$

Donde $m_i$ es el valor mínimo de $f(x)$ en el i-ésimo subintervalo.

Suma de Riemann por Punto Medio

Esta suma utiliza el valor de la función en el punto medio de cada subintervalo.

Fórmula: $$M_n=\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\mathrm{\Delta }x$$

Donde $x_i^{\ast }$ es el punto medio del i-ésimo subintervalo.

Comparación

Para una función creciente en el intervalo [a,b]:

$$s_n\le M_n\le S_n$$

A medida que n aumenta (más subintervalos), estas sumas se aproximan al valor real de la integral definida.